“理发师的故事？那是什么？”颖儿眨着眼睛问道。地址发布邮箱 ltxsbǎ@ＧＭＡＩＬ．CＯＭ
“一个能形象表述这个悖论的故事。”齐点说道：“原本在我的计划中，你应该是从那个故事中提取出数学信息，然后发现这个悖论。”
“现在你已经提前发现了，那就没必要讲这个故事了。你想听吗？”
“嗯……”颖儿犹豫了一下，说道：“不用了。”
她不知道自己明天还能不能出来，相比于听故事，现在她更希望多了解一点基础知识。
比如朴素集合论该怎么加上限制？
听到颖儿的回答，齐点眼中闪过一抹惊讶。
这个年纪的孩子正是贪玩的时候，老师们讲课都是费尽心思吸引注意力，这个小妹妹不听有趣的故事，而是选择了枯燥无味的数学。
这天生就是研究数学的料啊。
想到这里，他走到白板旁边，身体微侧，进入讲课状态。
“为了解决朴素集合论的这个问题，我们要把集合论公理化，用公理对集合加以限制。”
“所以我们接下来讲……”
齐点在白板上写下几个大字
“ZFC公理系统。”
“这部分内容可能有点难，你需要集中注意力，有什么不理解的地方可以举手提问。”
颖儿用力地点了点头，坐得非常端正。
“ZFC公理系统由ZF公理系统和选择系统组成。下面我们先来讲ZF公理系统的八条公理。”
“首先是外延公理，一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素，则它们是相等的。”
“……”
齐点讲的很简洁，没有做过多的解释，也没有去举一些形象的例子。
因为颖儿可以理解。
他讲的认真，还简单讲了一下皮亚诺公理系统，颖儿听得入迷。
所谓公理，是指依据人类理性的不证自明的基本事实，不需要再加证明的基本命题。
从这些公理出发，颖儿第一次真正感受到了数学的严谨性。
正是这种严谨性令她着迷。
不知道什么时候，杨岁和吴垠一起走了进来。
见到这两人，齐点迅速讲完这一部分内容，暂停讲课，恭敬地跟两人打招呼。
“吴部长。”
“荣誉委员。”
颖儿和柳绵也起身打招呼。
杨岁双手背后，感觉自己像是那种查课的教导主任。发布页Ltxsdz…℃〇M
他踱步到白板面前，还没看就先问齐点：“你这是在讲什么啊？”
齐点回答道：“数学上集合论的内容。”
杨岁眼睛一亮。
集合？
这我熟啊！
高中数学第一章就是集合。
放卷子了就是送分题。
他看向白板，准备用自己有限的学识来指导一下。
当看清白板上的内容后，他懵了一下。
嗯……
这次上面符号他都认识。
那些式子的意思他也能看懂。
但那一排文字怎么那么拗口啊？
“外延定理，空集存在定理……不就是相等和空集吗？整的还挺高大上的。”
“无序对公理……给定任何集合x和任何集合y，有着一个集合A使得，给定任何集合z，z是A的成员，当且仅当z等于x或者z等于y。”
“不是，这是什么东西？这语法都有问题吧？”
齐点赶忙解释道：“其实就是对于任意两个集合 x 和 y ，存在一个集合 A ，使得 A 的元素恰好是 x 和 y 。”
杨岁听了他的解释，又看向白板上的公式描述才理解。
理解后就感觉有种说废话的感觉。
但他又看见了后面这个无序对公理的一般化……
好长一串……
下面那些公理一个比一个拗口，有些甚至他都快看不懂了。
“这真是集合论吗？我学的不是这样啊……”
我记得集合就是很简单的东西啊。
他又看向颖儿。
“颖儿，你能听懂吗？”
颖儿点了点头。
现在讲的都是公理，属于那种只要理解的意思，就觉得很显然的内容，连证明都不需要。
杨岁只觉得这些东西绕来绕去的，他脑子里的神经细胞都快缠住了。
他没再纠结集合的问题，又对齐点问道：“你直接给她开高中的课了？”
“高中？”齐点愣了一下，随即说道：“没有啊，吴部长说因材施教，我没有按正常的课本走，打算先给这位小天才讲一下基础知识。”
杨岁问道：“但这集合不是高中数学的第一章吗？”
齐点说道：“可集合论是整个现代数学的基础啊，所以我才从集合论讲起。”
杨岁懵了，他又说道：“听你这意思，你好像有一套教学计划，能给我讲讲吗？”
这句话说出来，好像更像检查老师的教导主任了。
“当然可以。”齐点将那张a4纸拿了过来，说道：“时间上有些仓促，计划制定的不太详细。”
“没事没事，有计划比没计划强一万倍。”
杨岁接过那张a4纸，本来他以为就是讲函数、数列、向量，几何这些内容。
但齐点这个教学大纲好像跟他想象不太一样……
他是先引入一个简单的概念，然后再讲数学知识，但是……
【这是苹果，这是桃子——世间万物是可分类的！
朴素集合论和罗素悖论。
ZFC公理系统。
映射。】
【一，二，三！——学会数数
集合的势。
皮亚诺公理和自然数。
整数和有理数。】
到这他觉得虽然有点离谱，但还能接受。再往后，他就懵了。
【一加一等于二！——运算带来新的结构！
群及其性质。
环及其性质。
域及其性质。】
【从过去到未来我一直都在！——连续地描述世界
实数的定义和连续统假设。
序列的极限。
几个等价的完备性定理。】
……
看这个大纲，杨岁已经不理解后面要讲什么了。
这都什么跟什么啊！
不是在说苹果和桃子吗？怎么到集合了？
不是在数数吗？皮亚诺公理是什么？
一加一等于二我会。群是什么？环是什么？域是什么？
我是谁？
我在哪？
我要干什么？
杨岁拿着这个教学大纲，嘴唇颤抖了很久才开口问道：“你管这叫基础？”
“嗯……这位小朋友对数学的严谨性比较在乎，这样讲可以给她打下一个比较坚实的数学基础。”
齐点没有直接回答。
他是研究部里为数不多没有跳过级没有被竞赛保送过，安安稳稳上完小学初中高中十二年，大学才开始起飞。
因为他的家乡比较偏僻，上高中去了县城，也没听说过竞赛的事。
所以，他其实知道太岁说的基础是什么。
但这个小妹妹天赋太强了，理解能力很强，而且这个小妹妹的思维很发散。
正常课程满足不了她，她自己都会不自觉的偏离课程。强行把她拽回来的话，那就是在压制她的成长。
吴部长说过因材施教。
这就是因材施教啊……
吴垠也走过来，看了一眼那张a4纸，同样是一脸惊讶。
“专攻数学啊……这样会不会太急于求成了？”
言外之意就是：你会不会太高估她的天赋了？
齐点看了一眼颖儿，说道：“我只给了她一个提示，她就自己提出了罗素悖论。”
“给了什么提示？”
“告诉她存在问题，然后把引导她关注朴素集合论的定义。”
吴垠倒吸一口凉气。
恐怖如斯！
恐怖如斯啊！
如果是这样的话，那就不奇怪了。
他本来以为这就是一个普普通通的小天才。但现在来看，这明显是百年难得一遇的数学天才啊！
按捺住心中的激动，他看向颖儿，温和地说道：“这位老师讲的内容你都听明白了吗？”
“听……听明白了。”颖儿还是有点社恐。
接着，吴垠就白板上已经讲明了几个公里提出了一些问题。
他一脸温和，但提出这些问题并不温和，一个比一个刁钻，但又不超纲。
“颖儿，外延公理说两个集合相等当且仅当它们有相同的元素。现在，假设我们有两个空集，我叫它们??和??。根据空集存在公理，它们都存在。但??和??是同一个集合吗？用公理证明你的答案。”
听到这个问题，杨岁第一反应是：这不很显然是同一个集合吗？
陆渊在他脑海中问道：“那你用公理证明一下啊。”
“证明？这还要证？”
杨岁很不理解
但颖儿已经陷入了思考。
大概一分钟过后，颖儿很流畅地回答道：“根据外延公理，两个集合相等当且仅当它们有相同的元素。对于两个空集??，??，由于它们都没有任何元素，所以它们的元素完全相同。”
“因此，根据外延公理，因此?? = ??。”
杨岁：“这也能证！”
陆渊说道：“数学是一门严谨的学科，不是你说显然就显然的。”
“但这个证明很简单啊。”
“证明确实简单，但重要的是这个思路。”
听到颖儿的回答，吴垠眼中的欣赏更加浓烈了。
紧接着他又问出了下一个问题。
“你已知道无序对公理……”
“……请用公理解释，并进一步证明：对于任意集合w，单元素集{w}存在且唯一。”